Okulumuz "Mollaarap İlköğretim" adıyla açılmış olup, 1 Ekim 1925 tarihinde eğitim- öğretime başlamıştır. O zaman soyadı olmadığından okulun ilk müdürü Abdullah adında bir zattır. 
Okulumuz, adını semtimizin adı olan Mollaarap’ tan almıştır. Mollaarap, Horasanlı bir Türk ailesindendir. Esas adı Mehmet olan bu zat, Antakya'da doğmuş, dedesi Mısır’da iken tahsilini de Mısır’da yapmış, Mısır Sultanının toplantılarına da katılmıştır. Sonradan Bursa’ya gelerek Yavuz Sultan Selim’in seferlerine katılmış ve Şah İsmail’in Şii Mezhebini yayma çabaları aleyhine yazılar yazmıştır. Mollaarap, Osmanlı Padişahı Kanuni Sultan Süleyman zamanında yaşamış, 1535 yılında ölmüştür. Gerçek bir âlim olan bu zat okulumuzun kuzey doğusunda kendi adıyla anılan caminin yanında medfundur. Okulumuzun güneyinde de Şeyh Sabit Mahallesi vardır. Osmanlı İmparatorluğu'nun son zamanlarda girdiği bir savaşta kazandığı zafere istinaden Kumandan Şeyh Sabit'e Teferrüç semtine kadar olan yerler verilmiştir. O da okulun güney batısında bir mescit yaptırmış ve buraya 1872’ de Yugoslavya’dan gelen göçmenler yerleştirilmiştir. 
Okulumuzun güney batısında bir de Vefikiye Mahallesi vardır. Bu mahalle 1800 yıllarında Kırım’dan gelen göçmenler tarafından kurulmuştur.Kırım’dan gelen göçmenler tarafından kurulmuştur. Burada daha çok Tatarlar oturmaktadır. O zaman Bursa halkı bu göçmenleri istememiş ve yer vermemişlerdir. 
Söylentilere göre bunlara Bursa Valisi Ahmet Vefik Paşa da; "Sağların istemediğini ölüler ister." diyerek aslında mezarlık olan bu yeri göçmelere mesken kurmak için verir. Burada mahalle kurulunca Vefikiye Camii adında bir de cami yaparlar ve mahalle adını buradan alır. Okulumuzun öğrencilerinin bir kısmını da bu mahallelerin çocukları teşkil eder. 
31 Ekim 1938 tarihinden itibaren okullar numara aldıklarında okulun adı 21. İlkokul olmuştur. Okulun eski yeri kuzey taraftaki yetiştirme yurdu binasıdır. (Şimdiki Milli Eğitim Lojmanlarının bulunduğu yer.) Gazi Osman Bey, Bilecik, İnegöl, Sakarya ve Yenişehir’den sonra Bursa’ya yönelmeyi planlamıştır. Sarp kayalıklarla çevrili Bursa kalesi kolay alınamayacağı için Osman Gazi, biri kentin doğusundaki tepede, diğeri de kentin batısındaki kaplıcaların yakınında olmak üzere, havale kulesi dediğimiz iki tane gözetleme yeri yapmış ve giriş-çıkışları kontrol ederek kenti ablukaya almıştır. Okulumuzun binası, Osmanlılar'ın Bursa'yı fethetmek için yaptıkları Balabanbey Kalesi’nin bulunduğu yerde kurulmuştur. Bunlardan doğudakine Balaban Bey, batıdakine de Gazi Aktimur dizdar, yani kale komutanı, olarak atandığı için bu havale kuleleri onların adlarıyla bilinmektedir. Bunlardan Balabancık hisarı günümüze ulaştığı kadarıyla onarılarak koruma altına alınmıştır. Bursa’nın fethi şenliklerinin Yerkapı’da yapıldığı gibi bazı törenler de Balabancık Hisarı'nda yapılmaktadır. 
21 Aralık 1948 tarihinden itibaren okulun adı buna İzafeten Balabanbey İlkokulu olmuştur. 
Vali Enver KORAY zamanında 24 Ekim 1961 günü üç katlı 11 dershaneli yeni bir binanın temeli atılmış ve bina 11 Ekim 1963 günü de fiilen hizmete girmiştir. 1992 - 1993 Eğitim Öğretim yılından itibaren de İlköğretim Okulu olarak Balabanbey İlköğretim Okulu adıyla Eğitim Öğretime devam etmesi uygun görülmüştür. 17 Ağustos 1999 tarihinde meydana gelen Marmara Depreminde hasar görmesi sebebiyle yıkımı gerçekleştirilen okulumuz binası yerine hayır sever iş adamı Mustafa DÖRTÇELİK tarafından bodrum zemin ve iki normal kattan oluşan 16 derslikli yeni okul binası yaptırılmış, adı da yaptıran kişiye istinaden değiştirilerek, 5 Kasım 2002 tarihinden itibaren "Balabanbey Dörtçelik İlköğretim Okulu" adını almıştır. 12/06/2012 tarihinden itibaren Balabanbey Dörtçelik İlkokulu olarak 3 idareci, 39 kadrolu, 9 ücretli, toplam 51 öğretmen ve 876 öğrenci ile eğitim ve öğretimini sürdürmektedir.